Què és això? On sou?

Aquest blog ha estat creat per recollir problemes matemàtics destinats a alumnes del cicle superior de primària, classificats per tal d’esdevenir una font de recursos per a mestres. Es tracta doncs d’una web on els mestres poden accedir-hi i extreure’n aquells problemes que siguin més adequats pels seus objectius.

I que hi podeu trobar?

Trobareu més de cent problemes matemàtics classificats segons els cinc blocs de continguts del curriculum de primària: numeració i càlcul, relacions i canvis, espai i forma, mesura i estadística i atzar. A més, dins de cada bloc hi ha diferents categories que facilitaran la feina a tot aquell que busqui problemes d’un contingut en concret.

I com són els problemes?

Els problemes d’aquest blog són realment problemàtics, és a dir, res d’exercicis de sumes i restes, sino un seguit de problemes que faran pensar als teus alumnes mentre fan matemàtiques.

Ara, per facilitar-vos la feina, a cada problema hi trobareu el seu enunciat, la seva resposta per poder-ne fer la comprovació (que està amagada, així que l'haurem de subratllar perquè aparegui) i una referència del lloc d’on ha estat extret. A més, si cliqueu aquí trobareu quines són les avantatges de portar aquests problemes a classe i com en podem treure més suc.

I només n’hi ha 100 + X? (en que X equival a un nombre natural qualsevol)

Es tracta d’una font de recursos amb un creixement exponencial, que s’anirà ampliant amb nous problemes, no només de l’Esprint sinó també d’altres concursos, llibres, matemàtics o mestres. És per aixó que es demana als mestres, que segueixin aquest blog, que ens aportin els seus problemes als comentaris, per tal que nosaltres els incloguem a la nostra col·lecció que esperem que es converteixi en una eina útil per als mestres de les nostres escoles.

I d’on els treiem?

La major part dels problemes que es troben, són els del concurs de problemes a l’esprint des dels seus inicis (2002-2015). També hi apareixen problemes del Canguret, concurs donat a llum aquest any per a primària, i que descendeix de les ja conegudes per tots “Proves Cangur”.  

A continuació us deixem enllaços a les seves pàgines:

- Problemes a l'esprint: http://www.cangur.org/esprint/

- Proves Canguret: http://www.cangur.org/cangprim/2015/

Informació i ajudes pels mestres

Tal i com hem dit a la introducció, els problemes que hi ha en aquest blog permeten els alumnes pensar i desenvolupar estratègies que amb altres problemes més sistemàtics no se'ls dóna la possibilitat. Però.....

 com s'han de treballar dins de l'aula? 

És important que en el moment en que fem que els alumnes facin problemes d'aquest tipus no els facin i ja està si no que lo important i el que realment els fa interessants és allò que fem un cop els alumnes els han resolt. 

Tots són problemes que permeten que l'alumne els resolgui a la seva manera, per tant, cada nen o nena, amb els seus coneixements previs, resoldrà el problema seguint una estratègia o una altra. I en això és on recau la riquesa dels problemes. La feina del mestra serà, doncs, fer que els alumnes posin en comú les diferents estratègies que han seguit i que tothom vegi quines són les avantatges d'utilitzar-ne una o altra i que aprenguin dels companys. Per tal que quedi més clara la idea aquí hi ha un exemple d’un problema que està solucionat a través de diferents heurístiques:

Si continuem, ordenadament, la col·lecció de rectangles següents:

Quants quadradets tindrà el 10è rectangle?

Aquest és un problema que forma part del bloc de continguts de Relacions i canvis, i més concretament és una sèrie numèrica. Tot i així, aquesta sèrie també engloba continguts d’àrees i perímetres.

Quan un nen s’enfronta al problema pot resoldre’l de diferents formes, i aquí n’ensenyarem dues.

El problema et demana que descobreixis quants quadrats tindrà el rectangle número 10 observant com són els quatre primers. Amb aquesta premissa, un alumne podria resoldre el problema dibuixant cada un dels rectangles havent observat que cada rectangle augmenta un quadradet de base i un d’alçada respecte l’anterior. Així en el moment en que tindria el desè rectangle només hauria de comptar els quadradets i sabria la resposta.

Fent-ho així, també podríem trobar dos alumnes que fessin el comptatge final de forma diferent, des del que ho fa comptat un a un els quadradets, al que calcula l’àrea del rectangle multiplicant el número de quadradets d’un costat per el de l’altra.

Un altra manera de resoldre el problema seria fixar-se en quants quadradets augmenta d’un rectangle a un altre, i adonar-se que cada cop la base és igual al número del rectangle, és a dir, el rectangle número 3 té de base 3 quadrats i el número 4 en té 4, i que l’alçada sempre és un més que el número del rectangle. Per tant, el rectangle número 3 tindria base 3 i alçada quatre, i el número 10 tindria base 10 i alçada 11. Sàpiguen això podem dibuixar el rectangle i comptar els quadradets o fer calcular directament l’àrea del rectangle.

Si al finalitzar el problema, com a mestres utilitzem un temps per que els alumnes puguin explicar com ho han fet, fem que sortint totes aquests estratègies i que cada nen s’adoni d’aquelles coses que està fent bé i d’aquelles que es poden fer d’una manera més ràpida i que potser l’interessaria incorporar a les seves estratègies.

A més, el fet de veure els diferents processos podem parlar sobre com s’han fet, en relació als continguts matemàtics.

Aquest només és un exemple de com podem treballar els problemes d’aquest blog, però ja es poden veure les possibilitats que dóna i l’interessant que és tractar-ho així dins de l’aula. Tot i així, cal dir, que com a mestres podrem treballar i extreure’n totes les possibilitats als problemes en el moment que nosaltres mateixos sabem diferents heurístiques per resoldre’l.

Així que us animem a navegar pel blog i veure quins són aquells problemes que més s’adeqüen al que voleu fer a l’aula i observar quines han estat les estratègies que han utilitzat els alumnes. A més, ens agradaria que contribuíssiu al blog explicant-nos les vostres experiències a l’aula per poder-ho compartir les diferents estratègies amb les quals es poden resoldre els problemes.

Anem posant els nombres naturals correlativament, tal com mostra la taula de la dreta: 1, 2, 3, ..., i seguim fins al 2015. En quina columna quedarà col·locat el nombre 2015? 
`

Problema 15 del Canguret 6è primària 2015

Resposta: (columna 5) 

En Pere té deu boles, numerades del 0 al 9, i les reparteix entre els seus tres amics: en Joan obté tres boles, en Jordi quatre i l’Anna tres. Aleshores, en Pere demana a cadascun dels seus amics que multipliquin els nombres que hi ha en les boles que tenen. En Joan troba com a resultat 0; en Jordi obté 72, i l’Anna, 90. Si tots tres han fet bé les multiplicacions, quant sumen els nombres que figuren en les boles que ha rebut en Joan? 

Problema 18 del Canguret 6è primària 2015

Resposta: (12) 

La Lluïsa vol fer un cub plegant la graella que ha dibuixat en un full. Per equivocació, en el paper ha dibuixat 7 quadrats en comptes de dibuixar-ne 6. Quin quadrat ha d’eliminar perquè la figura no es trenqui i pugui construir un cub plegant el full? 

Problema 16 del Canguret 6è primària 2015

Resposta: (3) 

Un nombre té tres xifres que, multiplicades, donen 21. Quina és la suma de les tres xifres d’aquest nombre?

Problema 3 del Canguret 6è primària 2015

Resposta: (22) 

Quin nombre s’amaga darrere del quadrat?

Problema 1 del Canguret 6è primària 2015

Resposta: (20) 

En Roger i en Pau juguen al següent joc: un jugador tira quatre monedes. Si surten més cares que creus guanya 1 punt, i si surten igual nombre de cares que de creus perd 1 punt. En la resta de casos no guanya ni perd res. És un joc equitatiu? Per què?

Resposta: (No les mateixes probabilitats de guanyar que de perdre) 

Una sala rectangular té aquestes dimensions:

·         de llarg, un nombre de metres igual a 5

·         d'ample, 38 cm

Per enrajolar aquesta sala hem comprat 500 rajoles quadrades de 20 cm x 20 cm. Durant els treballs se'ns han trencat 16 rajoles, però per sort encara n'hem tingut un nombre suficient per acabar la feina. Quantes rajoles ens han sobrat?

Problema 11 de l'Esprint 2006

Resposta: (9) 

Aquest matí en una botiga hi han entrat 35 persones i, en total, s'han venut 16  CD 12 pel·lícules en DVD i i 24 llibres.

• ·     1 client ha comprat un CD, un DVD i un llibre.
•       20 clients han comprat exactament dos articles cada un, de la manera següent: 6 van comprar un DVD i un llibre cadascú, 4 clients s'han endut un DVD i un CD i, finalment, 10 van comprar un llibre i un CD.
•       Els altres clients que han comprat alguna cosa només s'han endut un únic article.

Quantes persones han sortit de la botiga sense comprar res?

Problema 10 de l'Esprint 2006

Resposta: (5) 

Per anar des d'un poble A fins a un altre poble, B, s'ha d'utilitzar la xarxa d'autobusos que podeu veure a la imatge següent, on els quadradets de colors simbolitzen altres pobles.

Cada autobús només va d'un poble a un altre (per exemple des d'A al punt vermell o bé del punt verd al vermell o bé del blau al marró,...). Els nombres que veieu a la figura indiquen el preu de cada trajecte. Si triem adequadament l'itinerari, quin és el preu total més barat que podrem aconseguir per anar des d'A fins a B?

Problema 1 de l'Esprint 2006

Resposta: (90) 

En l'expressió    4 x MIL + CINC substituïm cada lletra per una xifra del conjunt {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  (amb la condició que a lletres diferents se'ls assignen xifres diferents i a la mateixa lletra sempre el mateix valor) i tot seguit fem l'operació indicada. Adoneu-vos que MIL serà un nombre de tres xifres i CINC un nombre de quatre xifres. Quin és el valor més gran que podem obtenir?

Problema 12 de l'Esprint 2005

Resposta: (13269) 

Us diuen que heu de fer una maqueta amb llistons de fusta reproduïnt l'estructura de la figura i amb les mides que hi podeu veure indicades. El valor P correspon a 5 cm i el valor T a 32 cm.

Els llistons per fer la maqueta es venen en peces de 1 metre i mig. S'han de comprar peces senceres, encara que potser ens en sobri alguna part. A més, perquè el treball quedi polit no podem enganxar trossos de llistó que ens sobrin, només tallar-los a les mides adequades.

Mireu bé el dibuix de l'estructura i deduïu quantes peces de llistó haureu de comprar.

Problema 11 de l'Esprint 2005

Resposta: (4) 

En la temporada regular de la lliga ACB de bàsquet cada equip juga 34 partits. La ratxa més bona de partits guanyats que ha tingut un determinat equip és de 5 partits i la ratxa més dolenta que ha tingut aquest mateix equip és de 3 partits perduts. Sabent que en el bàsquet no es pot empatar cap partit, podem deduir que el nombre total de partits guanyats per aquest equip...

    a)   és més gran que el nombre de partits perduts
    b)   pot ser 30
    c)   és com a màxim 22
    d)   és com a màxim 25 
     e)  és com a màxim 27

Problema 8 de l'Esprint 2005

Resposta: (E) 

La Maria ha enganxat sis daus com els que es fan servir habitualment per jugar (és a dir, que tenen en les cares oposades l'1 i el 6, el 2 i el 5, el 3 i el 4.) Sempre ha encolat dues cares amb el mateix número i ha construït la figura que veieu tot seguit.

On es troba el triangle de l’extrem, apareix el número 5 .

Quant sumen els punts que marquen totes les cares visibles dels daus, mirant la figura per tots els costats?

Problema 6 de l'Esprint 2005

Resposta: (94) 

Hem de posar els cinc nombres del 3 al 7 en les cinc caselles buides de la figura següent:

de manera que no poden quedar dos nombres consecutius en dues caselles que estiguin en contacte. Quin nombre hem de posar a la casella acolorida?

Problema 3 de l'Esprint 2005

Resposta: (4) 

Ara imagina que tens un rectangle que té una superfície de 104 unitats quadrades en què tots els costats d'aquest rectangle tenen com a longituds nombres enters més grans que 5 unitats. (A partir del fet que l'àrea d'un rectangle es calcula com una multiplicació de la base per l'altura, si descompons en factors el número 104, podràs veure que només hi ha un rectangle que compleix les condicions anteriors.)

Segueix imaginant: també tens peces quadrades amb què vols compondre el rectangle anterior, com en un puzzle. Aquestes peces són de tres tipus: les més grosses tenen el costat igual a 5 unitats; les mitjanes tenen el costat igual a 4 unitats i les més menudes tenen el costat igual a 1 unitat. En tens tantes com necessitis de cada tipus.

Vols aconseguir fer el trencaclosques fent servir, en total, el mínim nombre possible de peces quadrades. Si ho fas així, quantes peces quadrades necessitaràs per compondre el rectangle? 

Problema 10 de l'Esprint 2004

Resposta: (16) 

En el carrer dels Colors hi ha cinc cases: una té la façana pintada de color blau, una altra és vermella, una groga, una verda i una rosa.
Les cases estan numerades correlativament de l'1 al 5.

·         La casa blava i la casa groga tenen nombres parells

·         La casa rosa, la verda i la vermella tenen nombres imparells

·         La casa vermella només té al costat una casa: la blava

·         La casa rosa només té al costat una altra casa

·         La casa blava està situada entre la vermella i la verda

De quin color és la casa número 3?

Problema 8 de l'Esprint 2004

Resposta: (verda) 

Imagineu una peça com la que es dibuixa seguidament feta de filferro:

Si teniu una altra peça semblant a l'anterior i li traieu algunes arestes, així:

llavors podeu ensamblar les dues peces per construir un cub de dimensions 3x3x3. Podeu comprovar que en total per construir el cub indicat s'han fet servir 108 unitats de filferro (pots veure a la primera figura quina longitud és 1 unitat.)

Ara imagineu que teniu dues peces semblants a les anteriors però una mica més grosses, de manera que us permeten construir un cub que té com a dimensions totals 4x4x4.

Quantes unitats de filferro hi haurà en total en aquest cub?

Problema 6 de l'Esprint 2004
Resposta: (192) 

En un campionat de futbol es donen 3 punts per cada partit que un equip ha guanyat i 1 punt per cada partit que ha empatat.

Quan s'han jugat els tres primers partits d'un campionat l'equip Síalapau F.C. ha fet tres gols i només n'hi han fet un.

És clar que amb aquesta dada no pots saber els resultats dels partits ni els punts que té aconseguits fins ara. Però sí que pots fer algunes deduccions.

De les puntuacions que es donen a les opcions de resposta, quina és l'única que NO POT SER que sigui la puntuació actual del nostre equip?

    A) 7
    B) 6
    C) 5
    D) 4
    E) 3

Problema 5 de l'Esprint 2004

Resposta: (E) 

La Clara i l'Enric són una filla i un fill de l'Elena i en Carles. Si sumem el nombre de germans que té la Clara amb el nombre de germanes que té l'Enric el resultat és 4. Quanta mainada hi ha a casa de la Clara i l'Enric?

Problema 1 de l'Esprint 2004

Resposta: (4) 

Ens diuen que, en els últims partits de bàsquet que ha jugat (no ens diuen en quants), en Pau ha fet 62 punts amb una mitjana de 15,5 punts. També ens diuen que...

•  en cadascun dels partits a què fan referència aquestes dades ha fet, com a mínim, una cistella de 2 punts
• en cada partit ha marcat un nombre diferent de punts
• en un dels partits el nombre de punts que ha aconseguit és 28
• el dia que en Pau ha fet 28 punts no és el dia que n'ha fet més.

Quants punts ha fet en Pau el dia que ha fet més punts en aquests partits que comentem?

Problema 12 de l'Esprint 2003

Resposta: (29) 

Tenim cinc trossos de cadena, cadascun d'ell amb 3 anelles.

Els volem ensamblar de manera que tinguem una cadena de 15 anelles.

La persona que ho ha de fer ens diu que per tallar una anella cobra 50 cèntims d'euro  i per tornar a soldar una anella tallada cobra 1,50 euros. 

Com és natural li indicarem que s'hi fixi bé i que faci la feina de manera que ens costi la mínima quantitat d'euros possible, és a dir que no talli i enganxi més anelles que les que siguin del tot necessàries. Quants euros haurem de pagar?

Problema 10 de l'Esprint 2003

Resposta: (6 €) 

Imagineu una figura sòlida com la del dibuix, formada per petits cubs d'aresta unitat. Les dimensions són 8 X 10 X 12 és a dir que d'ample tenim 8 cubs, de fons 10 i d'alt 12. 

Ara imagineu que pinteu tota la superfície exterior d'aquesta figura de color vermell. Quants cubs quedaran amb dues cares pintades?

Problema 7 de l'Esprint 2003

Resposta: (96) 

Escriu el nombre següent 4923516

D'aquest nombre volem esborrar-ne quatre xifres a fi i efecte que el nombre format per les tres xifres que quedin, sense alterar-ne l'ordre, sigui el més petit possible. Quines són les xifres que haurem d'esborrar? 

Problema 6 de l'Esprint 2003

Resposta: (4, 9, 5, 6) 

Quants quadradets grocs de la figura s'han de pintar de color vermell a fi i efecte que el nombre de quadradets vermells sigui exactament la meitat del nombre de quadradets grocs? 

Problema 3 de l'Esprint 2003

Resposta: (No es pot aconseguir exactament el que es demana) 

Un paquet de 15 cm x 15 cm x 45 cm està lligat amb una cinta tal com mostra la figura.
Quina és la llargada de la cinta?

Nota: la mesura que es demana és sense tenir en compte la llargada de cinta que es pugui necessitar per fer els nusos.

Problema 12 de l'Esprint 2002

Resposta: (3m) 

Avui és el dia 28 de gener de 2015.

D’aquí a 4 dies serà l’1 de febrer de 2015.

Quin dia serà d’aquí a 2015 dies?

(Nota: penseu en els anys de traspàs!)

Problema 10 de l'Esprint 2015

Resposta: (4 d'agost de 2020)

En un avió hi ha 108 seients.
En el viatge d'avui l'avió no s'ha omplert: hi ha un seient buit per cada dos d'ocupats.
Quants passatgers hi ha a l'avió

Problema 11 de l'Esprint 2002
Resposta: (72) 

En un dels plats d'una balança hi ha 6 taronges, totes del mateix pes, i en l'altra hi ha 2 melons, també idèntics.

La balança no està en equilibri. Ara bé, si afegim un meló exactament igual que els altres dos al plat de les taronges, llavors la balança s'equilibra.

Quin és el pes d'un meló en comparació amb les taronges? 

Problema 8 de l'Esprint 2002
Resposta: (El mateix de sis taronges) 

En la figura 1 podeu veure un triangle nùmeric. Cada casella s’obté sumant les dues de sota amb les quals té un vèrtex comú. Les caselles grises no s’omplen.

Quin nombre anirà a la casella del cim del triangle de la figura 2 si l’omplim seguint les mateixes instruccions?

Problema 8 de l'Esprint 2015

Resposta: (64)

La Maria ha comprat un cor de xocolata per la seva mare. Si cada quadradet conté 10 g de xocolata, quin seria el pes total del cor?

Problema 7 de l'Esprint 2002
Resposta: (360) 

Si multipliquem 10 x 10 (dos 10) i li restem 2, la suma de les xifres del resultat és 17. Si multipliquem 10 x 10 x 10 x 10 (quatre 10) i li restem 4, dóna 9996 i la suma de les xifres del resultat és 33.

Quina serà la suma de les xifres del resultat de multiplicar 10 x 10 x … x 10 (tants 10 com indica el número E (53) i restar-li E?

Problema 7 de l'Esprint 2015

Resposta: (130)

Quants quadrats de mida 2 x 2 has de pintar perquè quedi acolorida la quarta part de la superfície del robot que pots veure a la figura?

Problema 5 de l'Esprint 2002
Resposta: (2) 

L’Ona ha trobat un quadrat gris dibuixat en un paper i després ella ha anat dibuixant més quadrats. Primer, tres quadrats grocs que envolten el gris per formar un quadrat més gros. Després tres quadrats rojos que juntament amb els que ja tenia formen un quadrat. 

Si el quadrat fa ½ cm^2 de superfície, quina serà la superfície total de la figura que ha dibuixat?

Problema 5 de l'Esprint 2015

Resposta: (8)

Volem posar les deu targetes de colors en el tauler de la figura de manera que no es toquin dues targetes del mateix color. Si ho aconseguim, de quin color serà la targeta que haurem posat al quadrat marcat amb la X?

Problema 2 de l'Esprint 2015

Resposta: (vermell)